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函数一阶导与凸凹性的关系

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一阶导数反应函数的“单调性”，是函数曲线的瞬时变化率...。我相信学过函数导数的同学对于这些“话术”，耳熟能详。但是对这些“论述”真真正正的理解了吗？则不尽然。

如果给出符合下列图像的函数复杂解析式（图像未给出），其中2x0=x1+x2（x0为函数的隐零点），需要判断2f(x0）与f(x1)+f(x2)的大小关系，我们需要如何解决呢？这里先看一下下面函数图像，有助于直观理解：

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A\以上函数图像，只有中间图像是单调递增函数。

B\以上函数图像，以上函数均有存在两个以上的凸凹性，因为f'’（x）<>0

接下来做一下分析，对于函数单调性，还是从基本定义出发，函数的单调性与其一阶导数有关。显然，一阶导数在给定的区间内的值域只要是大于零，那么说明该函数为单调增函数【从曲线的切线上更容易直观判断】。显然以上三个函数图像均为单调递增函数。

大家想一下，都是单调递增函数，为什么函数的形态不尽相同呢？因此，引出了函数的凸凹性，进一步补充。函数的凸凹性对应着函数的局部变化趋势的快慢，反应到图形上，就是切线的瞬时变化率，这个变化率引起了函数姿态的多姿多彩。

二阶导数影响一阶导数的变化速率，一阶导数影响原函数值域的增减性，原函数。因此这个过程可以反过来看，二阶导数-》一阶导数-》原函数。这里仔细理解一下是不是这个道理。实际上函数的凸凹性直观上看就是函数的曲率问题。【数学的逆向思维】

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函数一阶导与连续性关系

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什么是函数的连续性？函数连续性的条件是什么？能否在脑海里快速浮现出来准确、严谨的表达？

连续性的核心定义‌

函数 f(x) 在点x0 处连续需同时满足以下三个条件（充分必要条件）：

·‌存在性‌f(x0)有定义（即x0在函数定义域内）‌。

·‌极限存在‌:limx→x0f(x)存在（左右极限均存在且相等）‌。

·‌极限等于函数值‌：limx→x0       f(x)=f(x0)。

很多同学，做题时不喜欢回顾最为基础的定义、概念，就喜欢想当然，有疑问也不去回头翻书查资料，得过且过，不会走，就想跑。这也是数学学习的“大忌”之一。学习就很浮躁，基础机会很不牢固扎实。等到了高三一轮复习以后，综合题目越来越多，自己欠缺的知识漏洞越多，高考数学成绩也就越差。

这里多说一点，高考数学卷的题目怎么都似从相识，但是就是无从下笔，拿不到好点的成绩呢？因为命题组在命题前会做各种调研，现在加上人工智能，大数据的加持，很容易获得大家的学业水平，哪些知识点易错，哪些数学思想没有掌握，将这些类型变着法的融入到高考数学题中。大多数学生就很难拿到好的分数了。

这里面最大的原因就是大家的基础不牢！见形就知道表面上的东西，很难知其考察的本意。有点跑题了，再回来。

为什么要说函数的连续性呢？

因为高考最长考察的就是函数的【有界性、最值定理和介值定理】的应用，这些定理是以函数连续性作为前提的。

同时若函数不连续，有涉及到【分类讨论的思想】，如分段函数。看下面一个例子：

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很多同学没有分类讨论，单纯的认为g(x)中的f(x)=e^2x,f(x-1/2)=x-1/2,对么？为什么不对。这样一提示，大家立马就能看出问题所在了吧。

分情况讨论：

x>0,x-1/2>0。f(x)=e^2x,f(x-1/2)=e^2x

x>0,x-1/2<0。f(x)=e^2x,f(x-1/2)=x-1/2

x<0,x-1/2>0(舍去)

x<0,x-1/2<0。f(x)=x-1/2,f(x-1/2)=x-1/2

就这么一道简单题（放在模拟卷第一题的位置），很多尖子生，错的也是一塌糊涂。这道题难吗？不难。为什么做不对？数学是一门很严格的学科，高考要考察的就是同学们的思维严谨性。拿到一道题目要仔细推敲。

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